以下以「披露易」网站检索到的关于「新石文化」新上市港股为例。

数据组成

根据 2020 年 1 月 15 日公布的「發售價及配發結果公告」，公开发售的股票分配基准分为甲、乙两组，由于乙组及部分甲组分配基准复杂，故以下主要研究甲组中「每次申购最多只能中 1 手」的情况。

术语解释

• 「所申请的香港发售股份数目」可视作「产品」，如「1 手」、「10 手」、「1000 手」之类
• 「有效申请数目」– 申请人数
• 「分配基准」– 中签规则
• 「根据所申请香港发售股份总数获配发的概率百分比」– 在特定产品项下中签的股份数（或手数）占所有申请股份数（或手数）的百分比

甲组数据

注：表格最后一列表示如持有能打 \(n\) 手的资金量及无限制的账户数，每个账户均购买 1 手，共购买 \(n\) 次的策略中签率。

数学建模

假设共有 \(k\) 种产品，即可供选择的打新方案有每次打 \(i\) 手（\(i = 1, 2, \ldots, k\)）， 相应每种产品的市场中签率 \(p_i \ (i = 1, 2, \ldots, k)\) 手。假设共有 \(m\) 个账户可供操作，手中资金最多打 \(N\) 手，将这 \(N\) 手分散至不同的账户中，实现组合中签概率最大化。记 \(x_{ij}\) 表示第 \(i\) 个账户对于第 \(j\) 种产品的投资选择，\(1\) 表示投资 \(0\) 表示不投资。研究成果为生成投资组合表，分别由账户、产品维度构成，每个单元表示在该行账户对该列产品的投资选择：

\[ \begin{array}{c|cccc} \hline & \text{product}_1 & \text{product}_2 & \cdots & \text{product}_k \\ \hline \text{account}_1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ \text{account}_2 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \text{account}_m & x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mk} \\ \hline \text{TOTAL} & x_1 & x_2 & \cdots & x_m \\ \hline \hline \end{array} \]

• 每个账户只能选择投资一种产品或无任何操作，即： \[\sum_{j = 1} ^ k x_{ij} <= 1, \quad \text{for each } i \in \{1, 2, \ldots, m\}\]
• 投资总手数不能超过手持资金数（或恰好完全投资）： \[\sum_{i = 1}^m\sum_{j = 1}^k j \cdot x_{ij} = N\]
• 每个账户对于每种产品的选择最多为 \(1\)： \[x_{ij} \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant x_{ij} \leqslant 1, \quad i \in \{1, 2, \ldots, m\}, j \in \{1, 2, \ldots, k\}\]
• 最终使得组合中签概率最大化： \[\mathbf{P} = \max\left\{ 1 - \prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^k (1 - x_{ij}) \right\}\]